根據《中華人民共和國環境保護法》第五十九條第一款，企業事業單位和其他生產經營者違法排放污染物，受到罰款處罰，被責令改正，拒不改正的，依法作出處罰決定的行政機關可以自責令整改之日的次日起，按照原處罰數額按日連續處罰。

此外，根據《環境保護主管部門實施按日連續處罰辦法》第十七條，按日連續處罰的計罰日數為“責令改正違法行為決定書”送達排污者之日的次日起，至環境保護主管部門復查發現違法排放污染物行為之日止。再次復查仍拒不改正的，處罰日數累計執行。

環保部門據此對該公司實施按日連續處罰：原處罰金額11396元，自5月8日起至6月4日共計28日，按日連續處罰金額為319088元。同時，再次下發“責令改正違法行為決定書”，責令該公司整改違法排污行為。

最終，該公司進行了整改，環保部門經現場復查取水樣監測，達到了排放標準，于當年8月19日進行了結案。

環保部門提醒，根據《環境保護主管部門實施按日連續處罰辦法》規定，以下環境違法行為，被責令改正，拒不改正的，將面臨按日連續處罰：超過國家或者地方規定的污染物排放標準，或者超過重點污染物排放總量控制指標排放污染物的；通過暗管、滲井、滲坑、灌注或者篡改、偽造監測數據，或者不正常運行防治污染設施等逃避監管的方式排放污染物的；排放法律、法規規定禁止排放的污染物的；違法傾倒危險廢物的；其他違法排放污染物行為。